ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ТАБУЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), boikov@pnzgu.ru
Бойкова Алла Ильинична, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru
Кривулин Николай Петрович , кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), krivulin@bk.ru
Гринченков Григорий Игоревич, аспирант, Пензенский государственный университет,
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), ryazantsevv@mail.ru

51-74

Актуальность и цели. Физические поля различной природы, как правило, имеют сложную структуру, не поддающуюся аналитическому представлению. Решение многих задач техники и физики требует представления с высокой степенью точности информации о физических полях как стационарных, так и переменных. Под представлением физического поля в какой-нибудь области подразумевается равномерная аппроксимация поля с заданной точность в рассматриваемой области. Стандартные методы, основанные на аппроксимации полей по равноотстоящим узлам, приводят к значительным погрешностям. Поэтому актуальными являются задачи построения равномерной (в той или иной метрике) аппроксимации полей в заданной области. Второй актуальной задачей является построение оптимальных методов табулирования и передачи информации, позволяющих с заданной точностью восстанавливать поле. Решению этих двух задач посвящена данная статья.
Материалы и методы. Для решения указанных задач предлагается метод, общий для физических полей любой природы, который заключается в следующем: 1) строятся алгоритмы равномерной аппроксимации полей в рассматриваемой области; 2) разрабатываются оптимальные методы табулирования информации о полях; 3) строится аппарат расшифровки таблиц, позволяющий с заранее заданной точностью восстановить физическое поле в заданной области. Для построения наилучшего равномерного приближения физического поля определяется функциональный класс, к которому принадлежит данное поле, вычисляются поперечники Колмогорова соответствующего класса функций и строятся сплайны, являющиеся оптимальным методом приближения. Затем с использованием информации о классе функций проводится табулирование физического поля. При табулировании физических полей естественно опираться на концепцию колмогоровской энтропии. Последним этапом является разработка аппарата восстановления с заданной точностью физического поля по результатам табулирования.
Результаты. Предложены оптимальные по точности и памяти методы восстановления потенциальных полей различной природы: ньютоновского и кулоновского потенциалов, электростатических полей.
Выводы. Результаты работы могут использоваться при разработке оптимальных методов получения и передачи информации о физических полях любой природы.

Ключевые слова

физическое поле, равномерная аппроксимация, оптимальные методы табулирования информации, поперечник, сплайн.

 Скачать статью в формате PDF

1. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплай-нами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической фи-зики. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
2. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления ин-тегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 236 с.
3. Шеннон, К. Статистическая теория передачи электрических сигналов / К. Шеннон // Теория передачи электрических сигналов при наличии помех : сб. ст. – М. : Изд-во иностр. лит., 1953. – С. 181–215.
4. Колмогоров, А. Н. Избранные труды. Математика и механика / А. Н. Колмо-горов. – М. : Наука, 1985. – 470 с.
5. Жданов, М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей / М. С. Жданов. – М. : Наука, 1984. – 327 с.
6. Бойков, И. В. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей I / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. – 1998. – № 8. – С. 70–78.
7. Бойков, И. В. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей II / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. –2001. – № 12. –С. 78–89.
8. Гюнтер, Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам мате-матической физики / Н. М. Гюнтер. – М. : ГИТТЛ, 1953. – 415 с.
9. Гопенгауз, И. Е. К теореме А. Ф. Тимана о приближении функций многочле-нами на конечном отрезке / И. Е. Гопенгауз // Математические заметки. – 1967. – Т. 1, № 2. – С. 173–178.